Eigenfish-Plots: Eine Reise durch komplexe Matrizen

2. Dezember 2023

Herzlichen Glückwunsch zum ersten Geburtstag, liebe Leserinnen und Leser meines Blogs! Heute möchte ich euch eine faszinierende Welt vorstellen, die sich in den Tiefen komplexer Matrizen verbirgt. Die Eigenfish-Plots, die ich euch heute vorstelle, wurden von den brillanten Köpfen hinter „Computational Discovery on Jupyter“ inspiriert: Neil J. Calkin, Eunice Y.S. Chan und Robert M. Corless. Diese Plots bieten nicht nur visuelle Ästhetik, sondern auch Einblicke in die komplexe Welt der Eigenwerte von Matrizen.

Hintergrundgeschichte

Die Eigenfish-Plots, die ich dir heute vorstelle, wurden von den brillanten Köpfen hinter „Computational Discovery on Jupyter“ inspiriert: Neil J. Calkin, Eunice Y.S. Chan und Robert M. Corless. Diese Plots bieten nicht nur visuelle Ästhetik, sondern auch Einblicke in die komplexe Welt der Eigenwerte von Matrizen.

Die Eigenfish-Klasse

Der Code, den ich verwende, basiert auf einer Python-Klasse namens „Eigenfish“. Diese Klasse ermöglicht es uns, Eigenfish-Plots zu erstellen, indem sie verschiedene Methoden zum Samplen von Parametern und Berechnen von Eigenwerten einer Matrix bereitstellt. Hier sind einige Schlüsselmomente der Klasse:

Initialisierung

Die Klasse wird mit einer Matrix und den Indizes von Parametern (t1, t2, … tn) initialisiert

eigenfish = Eigenfish(matrix, var_indices)

Generierung von Eigenwerten

Die Klasse bietet Methoden zum Berechnen von Eigenwerten, wobei die Parameter t1, t2, … tn​ zufällig aus verschiedenen Verteilungen gesampelt werden können.

eigenvalues =
eigenfish.eigvals_random_ts_rect(n_matrix, r)

Visualisierung

Die erstellten Eigenwerte werden dann in einem Scatterplot dargestellt, der die Schönheit und Komplexität dieser Matrizen zeigt.

plt.scatter(np.real(eigenvalues), np.imag(eigenvalues),
c="#383b3e", s=0.03, linewidths=0.0001, alpha=1.)

Was bedeuten diese Plots?

Eigenfish-Plots ermöglichen es uns, die Auswirkungen von variablen Parametern auf die Eigenwerte einer Matrix zu visualisieren. Diese Parameter können zufällig ausgewählt werden und repräsentieren eine Vielzahl von Szenarien. Die Plots zeigen, wie sich die Eigenwerte in Abhängigkeit von t1, t2, … tn verändern, und bieten so ein tiefes Verständnis für die Struktur der Matrix.

Beispiele und Anwendungsfälle

In meinem Beispielcode verwende ich eine 5×5-Matrix und generiere 100.000 verschiedene Eigenfish-Plots. Diese Plots können in verschiedenen Szenarien eingesetzt werden, von der Untersuchung physikalischer Systeme bis hin zur Optimierung von Algorithmen. Die visuelle Darstellung der Eigenwerte ermöglicht es, Muster und Trends zu erkennen, die in statischen Berechnungen möglicherweise verborgen bleiben.

Fazit

Die Welt der Eigenfish-Plots ist faszinierend und bietet uns einen einzigartigen Einblick in die komplexen Strukturen von Matrizen. Die Möglichkeiten, die sich daraus ergeben, sind vielfältig und können in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen genutzt werden. Ich lade dich ein, diesen Code selbst zu erkunden und die faszinierende Reise durch die Welt der Eigenfish-Plots anzutreten.

Ich hoffe, dieser Blogbeitrag hat dich inspiriert und dir einen Einblick in die faszinierende Welt der linearen Algebra und Visualisierung gegeben. Feiere mit mir den ersten Geburtstag dieses Blogs, und auf viele weitere Jahre der Entdeckung und des Lernens!